聖心女子大学国際交流学科
2024年秋学期
\[ 2^{0}=1? \]
べき乗のパタン
\[ \begin{aligned} 2^{3} &= & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1&=8\\ 2^{2} &= & 2\cdot 2\cdot 1&=4\\ 2^{1} &= & 2\cdot 1&=2\\ 2^{0} &= & 1&=1 \end{aligned} \]
べき乗のパタン2
\[ \begin{aligned} 2^{2} &= \frac{2^{3}}{2}=\frac{8}{2}=4\\ 2^{1} &= \frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2\\ 2^{0} &= \frac{2^{1}}{2}=\frac{2}{2}=1 \end{aligned} \]
べき乗の加法
\[ 2=2^{1}=2^{1+0}=2^{1}\cdot 2^{0}=2\cdot 2^{0} \quad \Longrightarrow \quad 2^{0}=1. \]
上の2つは証明ではありません
べき乗の加法法則を使ったものは証明ぽいです
生成AIの登場により、思考低下が懸念される。また、学校へ行かない(ホームスクール制度、通信)など、学習方法の多様性が見られる。こうした時代の変化の中で、今後労働生産性、資本生産性は向上していくのか。
上記文章には2つの問いがあると思います
人的資本投資の方法
日常生活における人的資本蓄積↓?
生成AIの登場により、思考低下が懸念される。また、学校へ行かない(ホームスクール制度、通信)など、学習方法の多様性が見られる。こうした時代の変化の中で、今後労働生産性、資本生産性は向上していくのか。
Baland and Robinsonモデルの単純化の仮定: 人的資本投資=通学=均一効果
就労でも人的資本は増えます
同じ学校教育でも、教授法pedagogyが違えば人的資本蓄積度合いも変わるはずです
生成AIの登場により、思考低下が懸念される。また、学校へ行かない(ホームスクール制度、通信)など、学習方法の多様性が見られる。こうした時代の変化の中で、今後労働生産性、資本生産性は向上していくのか。
人的資本は他の生産要素とどのように組み合わさり、組み合わせによって労働生産性はどのように変わるか
生産関数: 資本\(K\)と労働\(L\)を使って財・サービス\(y\)を産出する技術的関係
\(\mathbb R_{+}\times\mathbb R_{+}\to\mathbb R_{+}\) (正の実数×正の実数の組み合わせ\(\to\)正の実数というマッピング) \[ y=f(K,L). \]
生成AIの登場により、思考低下が懸念される。また、学校へ行かない(ホームスクール制度、通信)など、学習方法の多様性が見られる。こうした時代の変化の中で、今後労働生産性、資本生産性は向上していくのか。
2変数関数\(f(K, L)\)を1つの変数で微分=偏微分partial differentiation
\[ \frac{\partial f(K,L)}{\partial K}>0, \ \frac{\partial f(K,L)}{\partial L}>0 \]
限界生産力=偏微分
生成AIの登場により、思考低下が懸念される。また、学校へ行かない(ホームスクール制度、通信)など、学習方法の多様性が見られる。こうした時代の変化の中で、今後労働生産性、資本生産性は向上していくのか。
\[ \frac{\partial\left(\frac{\partial f(K,L)}{\partial L}\right)}{\partial K}=\frac{\partial^{2} f(K,L)}{\partial K\partial L}=\frac{\partial^{2} f(K,L)}{\partial L\partial K}\lesseqgtr 0. \]
\[ \frac{\partial^{2} f(K,L)}{\partial K\partial L} \left\{ \begin{array}{c} <\\ =\\ > \end{array} \right. 0 \quad \Leftarrow \quad y= \left\{ \begin{array}{l} \mbox{該当無し}\\ K+L\\ KL \end{array} \right. \]
生成AIの登場により、思考低下が懸念される。また、学校へ行かない(ホームスクール制度、通信)など、学習方法の多様性が見られる。こうした時代の変化の中で、今後労働生産性、資本生産性は向上していくのか。
\[ \frac{\partial^{2} f(K,L)}{\partial K\partial L}>0 \]
限界労働生産力(労働を僅かに増やすことの生産増)は資本が増えると大きくなる
\[ \frac{\partial^{2} f(K,L)}{\partial K\partial L}=0 \]
限界労働生産力(労働を僅かに増やすことの生産増)は資本の大きさと関係ない
生成AIの登場により、思考低下が懸念される。また、学校へ行かない(ホームスクール制度、通信)など、学習方法の多様性が見られる。こうした時代の変化の中で、今後労働生産性、資本生産性は向上していくのか。
AIを資本と見立てると労働限界生産力をどう変えるでしょうか
生成AIの登場により、思考低下が懸念される。また、学校へ行かない(ホームスクール制度、通信)など、学習方法の多様性が見られる。こうした時代の変化の中で、今後労働生産性、資本生産性は向上していくのか。
作業task \(i\)ベースの生産関数: \[ y(i)=A_{l}\alpha_{l}(i)L_{l}(i)+A_{m}\alpha_{m}(i)L_{m}(i)+A_{h}\alpha_{h}(i)L_{h}(i)+A_{K}\alpha_{K}(i)K(i) \]
おまけ: 労働の限界(価値)生産力=賃金
生産物価格\(p\)、賃金\(w\)と資本レンタル料\(r\)、生産技術\(f(K, L)\)を所与(=「完全競争市場」perfectly competitive markets)、\(K, L\)を最適に選んで利潤最大化する企業
\[ \max_{\{K, L\}}\;\;\; \pi=pf(K, L)-rK-wL \]
FOCs(微分してゼロと等しいとする)
\[ \begin{aligned} \frac{\partial\pi}{\partial K}=p\frac{\partial f(K, L)}{\partial K}-r&=0, &\quad \frac{\partial\pi}{\partial L}=p\frac{\partial f(K, L)}{\partial L}-w&=0,\\ \underbrace{p\frac{\partial f(K, L)}{\partial K}}_{\scriptsize{\mbox{資本の限界価値生産力}}}&=\underbrace{r}_{\scriptsize{\mbox{資本レンタル料}}}, &\quad \underbrace{p\frac{\partial f(K, L)}{\partial L}}_{\scriptsize{\mbox{労働の限界価値生産力}}}&=\underbrace{w}_{\scriptsize{\mbox{賃金}}} \end{aligned} \]
おまけ2: 労働の買い手独占企業は労働の限界(価値)生産力>賃金
買い手独占: 雇用量が賃金に影響する=雇用↑ ⇒ 賃金↑ → \(w=w(L), w'(L)>0\)
価格\(p\)、労働供給関数\(w(L)\)、生産技術\(f(L)\)を所与(=「労働の不完全競争市場」imperfectly competitive labour market)、\(L\)で利潤最大化する企業
\[ \max_{\{L\}}\;\;\; \pi=pf(L)-w(L)L \]
FOCs \[ \pi_{L} = pf'(L)-w-\frac{\partial w(L)}{\partial L}L=0. \]
\[ pf'(L)=w+\frac{\partial w(L)}{\partial L}L, \quad 1=\frac{w}{pf'(L)}+\frac{\partial w(L)}{\partial L}\frac{L}{w}\frac{w}{pf'(L)}=\frac{w}{pf'(L)}\left(1+a\right), \quad a := \frac{dw}{dL}\frac{L}{w}>0. \]
\[ \color{red}{\mbox{wage markdown}}=\frac{w}{pf'(L)}=\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+\theta^{-1}}<1, \quad \theta:=a^{-1}=\frac{\frac{dL}{L}}{\frac{dw}{w}} \quad (\mbox{労働供給の賃金弾力性}) \]
おまけ3: 独占企業の価格>完全競争の価格
独占企業: 供給が価格に影響する=生産量↑ ⇒ 価格↓ → \(p=p(q), p'(q)<0\).
需要曲線\(p(q)\)、賃金\(w\)、生産技術\(f(L)\)を所与(=「生産物の不完全競争市場」imperfectly competitive product markets)、\(L\)で利潤最大化する企業
\[ \max_{\{L\}}\;\;\; \pi=p[f(L)]f(L)-wL \]
FOCs \[ \pi_{L} = \frac{\partial p(q)}{\partial q}f'(L)f(L)+p(q)f'(L)-w=0. \]
\[ p(q)f'(L)\left\{1+\frac{\partial p(q)}{\partial q}\frac{q}{p(q)}\right\}=w, \quad p(q)=\frac{w}{f'(L)\left(1-b\right)}>\frac{w}{f'(L)}=p_{\scriptsize{\mbox{pc}}}, \quad b := -\frac{dp}{dq}\frac{q}{p}>0. \] \[ \color{red}{\mbox{markup}}=\frac{p(q)}{p_{\scriptsize{\mbox{pc}}}}=\frac{1}{1-b}=\frac{1}{1-\eta^{-1}}>1, \quad \eta:=b^{-1}=-\frac{\frac{dq}{q}}{\frac{dp}{p}} \quad (\mbox{需要の価格弾力性}) \]
おまけ4: 技術的限界代替率=相対要素価格
生産物価格\(p\)、賃金\(w\)と資本レンタル料\(r\)、特定の生産量\(q\), 生産技術\(f(K, L)\)を所与(=「完全競争市場」)、\(K, L\)を最適に選んで費用最小化する企業
\[ \begin{aligned} \min_{\{K, L\}}\;\;\;& c=rK+wL\\ \st \;\;\;& q\geqslant f(K,L) \end{aligned} \] ラグランジアン: 制約付き最大化・最小化問題で使う関数 \[ \mathcal L=rK+wL+\lambda[q-f(K,L)] \]
FOCs \[ \begin{aligned} \mathcal L_{K} &= r-\lambda f_{K}(K, L)=0,\\ \mathcal L_{L} &= w-\lambda f_{L}(K, L)=0,\\ \mathcal L_{\lambda} &= q- f(K, L)=0. \end{aligned} \quad \Longrightarrow \quad\underbrace{\frac{f_{K}(K, L)}{f_{L}(K, L)}}_{\scriptsize{\mbox{技術的限界代替率}}}=\frac{w}{r}, \quad q=f(K, L). \]
人的資本は増加している一方、労働分配率は低下していた理由として、モノの価格が高過ぎて、家計に還元されていなかったという内容を聞いて、インフレ時に物価が上昇しているが賃金の上昇が追いついていない状況に似ていると感じました。先進国での1970年代以降の傾向として、労働者所得の成長率が低かったという内容があり、その背景には、企業所有者と株主が所得を増やし、労働者まで十分に還元されなかった点があるという内容が印象的でした。
若干の誤解があります
講義: 労働分配率低下 ⭕原因の候補、❌確定原因
税金=0と仮定すると、企業の手残り資金=収入-各種生産要素への支払
\[ 労働分配率=\frac{労働への支払}{収入-各種生産要素への支払}=\frac{賃金+その他}{価格×販売量-各種生産要素への支払} \]
低下要因:
人的資本は増加している一方、労働分配率は低下していた理由として、モノの価格が高過ぎて、家計に還元されていなかったという内容を聞いて、インフレ時に物価が上昇しているが賃金の上昇が追いついていない状況に似ていると感じました。先進国での1970年代以降の傾向として、労働者所得の成長率が低かったという内容があり、その背景には、企業所有者と株主が所得を増やし、労働者まで十分に還元されなかった点があるという内容が印象的でした。
現代の日本でも、人的資本↑ ⇒ 労働生産性↑ ⇒ 賃金↑は起こっているはずです
しかし、労働生産性が伸びた分だけ賃金が上昇しているか、さらに言えば、ミクロ経済学で示される以下の関係が成り立っているか分かりません \[ \mbox{労働の限界生産力}=\mbox{賃金} \]
アメリカ: 資本主義の活力=競争、が失われているという指摘
人的資本は増加している一方、労働分配率は低下していた理由として、モノの価格が高過ぎて、家計に還元されていなかったという内容を聞いて、インフレ時に物価が上昇しているが賃金の上昇が追いついていない状況に似ていると感じました。先進国での1970年代以降の傾向として、労働者所得の成長率が低かったという内容があり、その背景には、企業所有者と株主が所得を増やし、労働者まで十分に還元されなかった点があるという内容が印象的でした。
企業活力business dynamismに関する定型化された10の事実(Akcigit and Ates 2021)
Firm entry rate↓
Profit share of GDP↑
Share of young firms↓
Job reallocation↓